Плоскорадиальный фильтрационный поток воды к артезианской скважине (постановка задачи)

Водоносный пласт представляет собой прямой круговой цилиндр радиуса и толщины . Кровля, подошва и боковая поверхность его непроницаемы. Центральная скважина радиуса полностью вскрывающая пласт открытым забоем (гидродинамически совершенная скважина). Работает на режиме постоянного массового расхода (дебита) воды скважины . Во всех горизонтальных плоскостях фильтрационный поток воды в пласте будет одинаковым - одномерным радиальным; его называют плоскорадиальным потоком[7].

В данном случае математическая постановка задачи запишется в виде

, , - (2.1)

уравнение фильтрации, где - радиальная пространственная переменная, - время; и -начальный и некоторый конечный момент времени; - давление; - коэффициент динамической вязкости воды; и - коэффициенты пористости и проницаемости пласта.

Начальное условие:

: , (2.2)

Граничные условия, которые следует выразить через соотношения, содержащие нужную нам функцию давления :

, (2.3)

, - (2.4)

Массовый расход воды (его алгебраическое значение) через любую цилиндрическую поверхность представляется как

,

где - радиальная скорость фильтрации согласно закону Дарси,

и учитывая, что , для дебита воды на скважине найдём.

Тогда краевое условие (2.3) перепишется так:

, ; (2.5)

Граничному условию (2.4) будет соответствовать соотношение

, . (2.6)

Приведём ещё выражение для средневзвешенного пластового давления, которым в дальнейшем воспользуемся для приближённого аналитического решения сформулированной задачи (2.1), (2.2), (2.5), (2.6). Вычитая из начальных запасов суммарный за время отбор воды из пласта, получаем запасы, оставшиеся в нём на текущий момент времени (их также иногда называют текущими запасами):