Элементарные понятия о случайных событиях, величинах и функциях

Можно потребовать в определении 26 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: , или в любой полуинтервал: .

Убедимся, например, что эквивалентны определения 26 и 27:

Определение 27.

Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных множество принадлежит -алгебре .

Доказательство

эквивалентности определений 26, 27.

Если - случайная величина в смысле определения 26, то она будет случайной величиной и в смысле определения 27, поскольку любой интервал является борелевским множеством.

Докажем, что верно и обратное. Пусть для любого интервала выполнено . Мы должны доказать, что то же самое верно и для любых борелевских множеств.

Соберём в множестве все подмножества вещественной прямой, прообразы которых являются событиями. Множество уже содержит все интервалы . Покажем теперь, что множество является -алгеброй. По определению, тогда и только тогда, когда множество принадлежит .

1.

Убедимся, что . Но и, следовательно, .

2.

Убедимся, что для любого . Пусть . Тогда , так как - -алгебра.

3.

Убедимся, что для любых . Пусть для всех . Но - -алгебра, поэтому

Мы доказали, что - -алгебра и содержит все интервалы на прямой. Но - наименьшая из -алгебр, содержащих все интервалы на прямой. Следовательно, содержит : .