Задача Стефана о фазовом переходе

Найдём аналитическое решение одномерной нелинейной задачи теории теплопроводности, которую называют задачей Стефана в честь И. Стефана, поставившего и решившего в 1889 г. Задачу о фазовом переходе. Фазовый переход может быть связан с кристаллизацией жидкости при её охлаждении. В этом случае задачу обычно называют задачей о промерзании, имея в виду, что процесс замерзания воды при её охлаждении относится к процессам такого класса.

Пусть жидкая среда занимает полупространство и пусть при температура всех слоёв жидкости одинакова и равна , где - температура отвердевания жидкости. Без ограничения общности мы будем считать .

С момента времени на границе поддерживается постоянная температура ниже температуры кристаллизации . В этом случае при вблизи граничной поверхности возникает слой твердой фазы, толщина которого с течением времени увеличивается (рис. 1). Фронт кристаллизации в любой момент времени отделяет твёрдую фазу от жидкой, двигаясь с некоторой скоростью в направлении жидкой фазы. По постановке задачи [5].

Рисунок 1 - Процесс крисстализации

Теплота фазового перехода, выделяющаяся при кристаллизации жидкости, отводится вследствие теплопроводности твёрдой фазы через граничную поверхность .

Ясно выделяя движущийся фронт кристаллизации, обозначим индексом “1” величины, относящиеся к твёрдой фазы, а индексом “2” - к жидкой фазе. Тогда, считая, что свойства среды при фазовом переходе изменяются скачком, запишем уравнение теплопроводности для двух фаз:

, , ; (1.2.1)

, , ; (1.2.2)

где и - коэффициенты температуропроводности твёрдой и жидкой фаз соответственно.

Учитывая, что в начальный момент времени существует только жидкая фаза, начальное условие для задачи запишем в виде

, (1.2.3)