Задача Стефана о фазовом переходе

Выполняя теперь граничные условия (1.2.4) находим

, (1.2.11)

При этом замечаем, что начальное условие (1.2.3) также будет выполнено.

Из условия (1.2.5) на фронте фазового перехода, т.е. при , следует, что

; (1.2.12)

Каждое из этих условий может быть выполнено для любого только в том случае, если аргументы функции в этих равенствах не зависят от времени. Но это возможно, если .

Таким образом, с точностью до некоторой константы определены закон движения фронта фазового перехода

(1.2.13)

и его скорость

(1.2.14)

которая уменьшается со временем, т.е. по мере утолщения слоя твёрдой фазы.

Подставляя (1.2.12) в соотношение (1.2.11), получаем

; (1.2.15)

Теперь из равенств (1.2.11) и (1.2.15) находим все четыре константы:

(1.2.16)

Чтобы определить константу , надо воспользоваться условием Стефана (1.2.6) на фронте фазового перехода. Так как

,

то с учётом формул (1.2.10), (1.2.14) и (1.2.16) условие (1.2.6) приводит к уравнению

. (1.2.17)

Анализ трансцендентного уравнения (1.2.17) показывает, что существует единственное положительное значение параметра , удовлетворяющее этому уравнению. Приближённое значение корня этого уравнения может быть найдено численными методами.

В случае, когда начальная температура всех слоёв жидкости равна температуре фазового перехода, т.е. , из равенств (1.2.16) следует, что

; ;

; ,

и трансцендентное уравнение (1.2.17) принимает более простой вид

, (1.2.18)

где .