Задача Стефана о фазовом переходе

Краевые условия задачи сформулируем следующим образом:

а) на границах области

при ; (1.2.4)

при ;

б) на фронте фазового перехода

; (1.2.5)

, (1.2.6)

где - скрытая теплота кристаллизации, отнесённая к единице массы твёрдой фазы.

С помощью автомодельной переменной (преобразование Больцмана) приведём уравнение (1.2.1) и (1.2.2) к обыкновенным дифференциальным уравнениям для функций и :

, (1.2.7)

Полагая , запишем уравнение (1.2.7) в виде

(1.2.8)

Интегрируя выражение (1.2.8), получаем

, (1.2.9)

Интегрируя (1.2.9) ещё один раз находим общее решение уравнений (1.2.7) для и :

,

где ; , .

Функцию называют интегралом ошибок (также функцией ошибок). Она часто встречается в задачах математической физики и поэтому затабулирована, как и её производные и интеграл от неё. В частности ,

Для малых имеет место разложение

,

а при больших справедлива асимптотическая формула

Возвращаясь к переменным и , запишем найденные решения уравнений (1.2.1) и (1.2.2) в виде

, , ; (1.2.10)

, , ;