Задачи с подвижными границами, решаемые разложением в ряд

Рассмотрим задачу с подвижной границей в несколько неопределённой форме.

, , ; (1.3.1)

, (1.3.2)

, , (1.3.3)

а на границе задано одно из следующих граничных условий:

, (1.3.4)

, (1.3.5)

. (1.3.6)

Неопределённость постановки состоит в том, что пока не оговаривается, что функции , , , , , известны или их нужно искать. Предположим только, что указанные функции и условия (1.3.2)-(1.3.6) таковы, что задача (1.3.1)-(1.3.6) имеет единственное аналитическое решение[6].

Напомним, что коэффициенты степенного ряда по x, являющегося решением уравнения (1.3.1), полностью определяется, если на одной из границ заданы два независимых условия. Пусть на границе заданы два условия: (1.3.2) и (1.3.3). Следовательно, функцию T ищем в виде ряда, используя только внутренние граничные условия (1.3.2) и (1.3.3), т.е. решение строим независимо от граничного условия (1.3.4) или (1.3.5) и (1.3.6). Для этого функцию разлагаем в ряд Тейлора в точке :

. (1.3.7)

Условия (1.3.2) и (1.3.3) непосредственно дают первые члены ряда (1.3.7). Далее, дифференцируя условие (1.3.2) по и используя основное уравнение (1.3.1), получим:

, , , (1.3.8)

аналогично из условия (1.3.3) имеем

, . (1.3.9)

В свою очередь, дифференцируя по условия (1.3.8) и (1.3.9) и вычисляя последующие дифференциалы, определим все производные :

; (1.3.10)

, (1.3.11)

Здесь и означают соответствующие производные по порядка и .

Таким образом последовательно определяются все коэффициенты ряда (1.3.7). Если известны значения функций ,,, то из граничного условия (1.3.4) или из (1.3.5) и (1.3.6) можно найти граничные функции, т.е. решить обратную задачу, а если известна одна из функций, например , то подставляя (1.3.7) в одно из условий (1.3.4)-(1.3.6), можно найти её, т.е. решить прямую задачу. Аналогично можно определить и неизвестные функции или .