Задачи с подвижными границами, решаемые разложением в ряд

В задаче Стефана: , , и задано одно из условий (1.3.4)-(1.3.6); требуется определить границу и температурное поле. Здесь - теплота фазового перехода, - коэффициент теплопроводности.

Прежде чем определить границу , отметим, что в данном случае ряд (1.3.7) имеет вид

. (1.3.12)

Для нахождения функции можно предложить по крайней мере два способа.

Первый способ имеет частный характер. Пусть неизвестная граница разлагается в ряд Маклорена как функция времени:

. (1.3.13)

Предположим, что . Пусть теперь задано, например, условие (1.3.5), при этом, не нарушая общности, полагаем . Дифференцируя условие (1.3.5) и используя основное уравнение (1.3.1), можно легко убедиться, что

, . (1.3.14)

Подставляя соотношение (1.3.11) в (1.3.14) и учитывая, что при граница , получим

,

а из выражений

,

непосредственно вытекает

Таким образом рекуррентно определяются все коэффициенты ряда (1.3.13). Для граничного условия (1.3.5) первые члены этого ряда имеют вид

. (1.3.15)

а для граничного условия (1.3.16) находим

Вопрос сходимости (1.3.15), (1.3.16) остаётся пока открытым. Предварительный анализ показывает, что ряды (1.3.15), (1.3.16) сходятся при очень малых значениях .

В случае задания граничного условия (1.3.4) можно легко убедиться, что все коэффициенты ряда (1.3.13) равны нулю. Действительно, дифференцируя (1.3.4) и используя основное уравнение (1.3.1), получим

.

С другой стороны, соотношение (1.3.10) при даёт

.

Но поскольку при граница , следовательно, и т.д.

Итак получено нулевое решение, что, конечно, невозможно. В чем же дело? Подозрение падает на ряд (1.3.13).

Вероятно, функция в точке не разложима в ряд Маклорена. Действительно, если обратиться к точному решению задачи

. (1.3.17)

Отсюда ясна невыполнимость соотношения (1.3.13).

Второй способ имеет более общий характер. Сначала ряд (1.3.7) с коэффициентами (1.3.10), (1.3.11) преобразуем к виду, удобному для оценки коэффициентов, затем - в операторный вид, удобный для дальнейшего решения.

В силу предположения об аналитичности справедливо