Задачи с подвижными границами, решаемые разложением в ряд

.

Теперь рассмотрим выражение

,

Откуда следует цепочка равенств

. (1.3.18)

Аналогично получим

(1.3.19)

Последовательно понижая порядок дифференцирования на единицу в правых частях выражений (1.3.18) и (1.3.19), находим соответственно соотношения (1.3.10) и (1.3.11). Расписывая, в свою очередь, выражения (1.3.10) и (1.3.11), имеем

, (1.3.20)

(1.3.21)

Непосредственной проверкой при с помощью выражений (1.3.18), (1.3.19) убеждаемся в справедливости (1.3.20) и (1.3.21). Пусть для верны формулы (1.3.20) и (1.3.21), докажем справедливость (1.3.20) для . Подставляя (1.3.20) и (1.3.21) в (1.3.18), получим

.

Таким образом, выражение (1.3.7) можно переписать в виде

(1.3.22)

при этом, не нарушая общности, полагаем . Очевидно, если наложить определённые условия на производные функции , то вид выражения (1.3.22) удобен для оценки коэффициентов рядов, но трудно получить решение относительно . Преобразуем выражение (1.3.22) дальше. Для этого соберём те члены, которые содержат одинаковый сомножитель , в результате имеем

. (1.3.23)

Теперь для определения подставляем (1.3.23) в одно из условий (1.3.4)-(1.3.6). Например, условие (1.3.4) при даёт

, (1.3.24)

и, следовательно,

. (1.3.25)

Нетрудно убедиться, что выражение (1.3.25) верно при . Далее можно показать, что справедливо соотношение

, .

Здесь формально считаем, что двойной факториал от отрицательных чисел равен единице.

Последнее соотношение с учётом (1.3.17) даёт следующее выражение:

,

поскольку

.

Следовательно, условие (1.3.24) можно переписать в виде

(1.3.26)

Известно, что

.

Отсюда из соотношения (1.3.26) получим известное трансцедентное уравнение для определения :

.

Для того чтобы вычислить ряд (1.3.23), отдельно рассмотрим входящую в него сумму по . Обозначая , и преобразуя в необходимых случаях индексы суммирования, находим

.

Но поскольку , имеем

.

Следовательно, выражение (1.3.23) можно переписать в виде

. (1.3.27)