Математическое моделирование систем массового обслуживания

Таким образом, простейший поток требований или совершенно случайный поток - это поток, определяющейся свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия одновременно.

Предположения о совершенно случайном входном потоке требований эквивалентно тому, что плотность распределения интервалов времени между последовательными поступлениями требований описывается экспоненциальным законом:

(1.1)

где λ - интенсивность поступления заявок в систему.

Если интервалы распределены по экспоненциальному закону, то процесс пуассоновский. Такие процессы называются М-процессами (Марковскими).

Кроме закона Пуассона часто применяется закон распределения Эрланга.

(1.2)

Классификация процессов обслуживания

Обозначения Кендалла систем массового обслуживания.

Аналогично входному потоку процесс обслуживания требований может быть детерминированным и стохастическим.

Детерминированный процесс обслуживания характеризуется постоянной величиной времени обслуживания

где - интенсивность обслуживания, которая представляет собой число требований, обслуживаемых в единицу времени.

Стохастический процесс обслуживания может быть произвольным, рекуррентным или совершенно случайным, как и при описании входного потока требований [15].

При рассмотрении систем массового обслуживания часто используются обозначения предложенные Кендаллом. Они позволяют описать СМО с помощью следующих трех элементов: вид входного потока, распределение продолжительности обслуживания, число обслуживающих приборов.

Используются следующие обозначения:- пуассоновское или экспоненциальное распределение;- постоянная величина;k - распределение Эрланга;- общий вид распределения;- рекуррентный входной поток.

Общий вид, характеризующий систему массового обслуживания, представляет собой следующую последовательность:

где Н1 - характеристика входного потока, H2 - характеристика времени обслуживания прибора, i - число приборов.

Например, система M /D /s - система с s приборами, обслуживающая поступающие требования за строго определенный интервал времени, поступающие требования образуют пуассоновский поток [16].

Классификация систем массового обслуживания

По характеру обслуживания.

СМО с отказами

Одноканальная СМО содержит один канал (n = 1), и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок Пвх интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inПвх=λ. Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо λ записывают λ (t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Тоб распределено по показательному закону и записывается в виде: , где λ - интенсивность отказов.

Состояние СМО характеризуется простаиванием или занятостью ее канала, т.е. двумя состояниями: S0 - канал свободен и простаивает, S1 - канал занят. Переход системы из состояния S0 в состояние S1 осуществляется под воздействием входящего потока заявок Пвх, а из состояния S1 в состояние S0 систему переводит поток обслуживании Поб: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S0 в S1 и обратно равны соответственно λ и µ. Граф состояний подобной СМО с двумя возможными состояниями приведен на рис.3.

Рис.3. Граф состояний одноканальной СМО с отказами.

Для многоканальной СМО с отказами (n > 1) при тех же условиях состояния системы обозначим по числу занятых каналов (по числу заявок, находящихся в системе под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживает только одну заявку).

Таким образом, подобная СМО может находиться в одном из следующих (n+1) состояний: s0 - все n каналов свободны; s1 - занят только один из каналов, остальные (n-1) каналов свободны; si - заняты i - каналов, (n-i) каналов свободны; sn - заняты все n каналов. Граф состояний такой СМО приведен на рис.4.