Математическое моделирование систем массового обслуживания

СМО с ожиданием

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживания равна µ (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать µ обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость. Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис.6.

Рис.6. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S0 - канал свободен;

S1 - канал занят (очереди нет);

S2 - канал занят (одна заявка стоит в очереди);

Sn - канал занят (n-1 заявок стоит в очереди);

SN - канал занят (N-1 заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

(1.11)

где ρ=λ/µ; n - номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (1.10) для нашей модели СМО имеет вид:

(1.12)

(1.13)

Тогда

Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N-1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т.е. не отношением λ/µ=ρ. Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1): вероятность отказа в обслуживании заявки:

(1.14)

относительная пропускная способность системы:

(1.15)

абсолютная пропускная способность:

(1.16)

среднее число находящихся в системе заявок:

(1.17)

среднее время пребывания заявки в системе:

(1.18)

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

(1.19)

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

. (1.20) [2, 89 - 92].

Теперь рассмотрим более подробно СМО, имеющую n-каналов с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживаний - интенсивность µ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ей эффективности.

Система может находиться в одном состоянии S0, S1, S2,…,Sk,…,Sn,…, нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S1 - занят один канал, остальные свободны; S2 - заняты два канала, остальные свободны; …, Sk - занято k каналов, остальные свободны; …, Sn - заняты все n каналов (очереди нет); Sn+1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка; …, Sn+r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди, ….

Граф состояний показан на рисунке 7.

Рис.7. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием

Обратим внимание, что по мере увеличения в СМО от 0 до n увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО, большем, чем n, интенсивность потока обслуживания сохраняется равной nµ.

Формулы для предельных состояний СМО с ожиданием выглядят следующим образом: