Приближенное аналитическое решение задачи о нестационарной плоскорадиальной фильтрации воды

Рассматриваемый здесь процесс истощения водоносного пласта разделим по времени на два периода - так называемые первую и вторую фазы этого процесса. Первая фаза характеризуется тем, что падение пластового давления (или возмущение в пласте), вызванное отбором воды, распространяется от скважины к непроницаемой границе, пока не достигнет этой границы. Во время второй фазы падение давления происходит уже по всему пласту (возмущением охвачен весь пласт).

Заметим, что для нелинейных задач типа (2.10-2.13), а также и более общих задач, которым соответствуют константные (или нулевые) начальные условия, например, вида (2.11), характерна конечность скорости распространения передней границы (фронта) расширяющейся области возмущения. Это важное обстоятельство существенно отличает такие задачи от задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа, для которых, как известно, скорость распространения возмущений бесконечна.

Получим приближенное аналитическое решение рассматриваемой задачи для обеих фаз процесса истощения пласта.

Первая фаза истощения водоносного пласта

В данной ситуации возмущенная зона пласта представляется расширяющейся со временем кольцевой областью, перемещение передней границы которой (фронта возмущения) - окружности радиуса - должно быть определено. Необходимо также найти изменение распределения давления по этой области , , . Подлежащая решению система уравнений выглядит следующим образом:

, , ; (2.17)

; (2.18)

, , (2.19)

: ; (2.20)

, ; (2.21)

: , ; (2.22)

, ; (2.23)

. (2.24)

, (2.25)

где

(2.26)

Приближённое решение этой начально-краевой задачи будем искать, полагая в (2.17)

(2.27)

и рассматривая уравнение

, , ; (2.28)

при условиях, соответствующих выше приведённым (значок тильда указывает на то, что отыскиваемое решения отличается от точного; в дальнейшем он опускается).

Последовательно интегрируя (2.28) по R, получаем

и

,

откуда с учётом (2.22-2.24), находим

, (2.29)

Функция , согласно (2.25), (2.26), определяется из уравнения

,

или

(2.30)