Приближенное аналитическое решение задачи о нестационарной плоскорадиальной фильтрации воды

Вторая фаза истощения водоносного пласта

На этом временном периоде рассматриваем следующую систему уравнений:

, , ; (2.45)

: , (2.46)

: , ; (2.47)

: , ; (2.48)

Принимая в уравнении фильтрации (2.45)

(2.49)

и присоединяя уравнение (2.14), вместо (2.45-2.48) запишем приближенную математическую постановку задачи в виде

, , ; (2.50)

: , (2.51)

:; : , ; (2.52)

,, (2.53)

Где определяется по (2.35), а задаётся зависимостью (2.37) при и :

, (2.54)

Интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения по пространственной переменной (2.50), с учётом граничных условий (2.52), и, если мы будем пренебрегать по сравнению, с 1, даёт

(2.55)

Неизвестную функцию времени выразим через давление на непроницаемом граничном контуре - контурное давление :

(2.56)

Тогда из (2.55) и (2.56) имеем

, , (2.57)

решение, которое удовлетворяет начальному условию (2.54), (2.51).

Получим для и распределения давления по пласту в любой момент времени второй фазы процесса истощения такие зависимости(малая величина и члены, содержащие ее сомножителем, отбрасывались):

(2.58)

и

, , (2.59)

Предельный момент времени находится из условия

,