Прогнозирование, основанное на использовании моделей временных рядов

Характерной чертой адаптивных методов прогнозирования является их способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, «адаптироваться» к этой эволюции, придавая тем больший вес, тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они к текущему моменту прогнозирования.

В основе процедуры адаптации лежит метод проб и ошибок. По модели делается прогноз на один интервал по времени. Через один шаг моделирования анализируется результат: насколько он далек от фактического значения. Затем в соответствии с моделью происходит корректировка. После этого процесс повторяется. Таким образом, адаптация осуществляется рекуррентно с получением каждой новой фактической точки ряда.

Методы экспоненциального сглаживания. Модель Брауна.

Пусть анализируемый временной ряд x(t) представлен в виде:

x(t) = a0 + ε(t),

где a0 - неизвестный параметр, не зависящий от времени, ε(t) - случайный остаток со средним значением, равным нулю, и конечной дисперсией.

В соответствии с методом Брауна прогноз x*(t+τ) для неизвестного значения x(t+τ) по известной до момента времени t траектории ряда x(t) строится по формуле:

x*(t; τ) = S(t),

где значение экспоненциально взвешенной скользящей средней S(t) определяется по рекуррентной формуле:

S(t)= αx(t) + (1-α) S(t-1).

Коэффициент сглаживания α можно интерпретировать как коэффициент дисконтирования, характеризующий меру обесценивания информации за единицу времени. Из формулы следует, что экспоненциально взвешенная скользящая средняя является взвешенной суммой всех уровней ряда x(t), причем веса уменьшаются экспоненциально по мере удаления в прошлое.

В качестве S(0) берется, как правило, среднее значение ряда динамики или среднее значение нескольких начальных уровней ряда.

Случай линейного тренда:

x(t) = a0 + a1t + ε(t).

В этом случае прогноз x*(t; τ) будущего значения определяется соотношением:

x*(t; τ) = ,

а пересчет коэффициентов осуществляется по формулам:

Начальные значения коэффициентов берутся из оценки тренда линейной функцией.

Модель Хольта.

В модели Хольта введено два параметра сглаживания α1 и α 2 (0< α 1, α 2 <1). Прогноз x*(t;l) на l шагов по времени определяется формулой:

x*(t; τ) = ,

а пересчет коэффициентов осуществляется по формулам:

Модель Хольта-Уинтерса.

Эта модель помимо линейного тренда учитывает и сезонную составляющую. Прогноз x*(t;τ) на τ шагов по времени определяется формулой:

x*(t;τ) = ,

где f(t) - коэффициент сезонности, а T - число временных тактов (фаз), содержащихся в полном сезонном цикле.

Видно, что в данной модели сезонность представлена мультипликативно. Формулы обновления коэффициентов имеют вид:

Модель Тейла-Вейджа.

Если исследуемый временной ряд имеет экспоненциальную тенденцию с мульти-пликативной сезонностью, то после логарифмирования обеих частей уравнения получается модель с линейной тенденцией и аддитивной сезонностью или модель Тейла-Вейджа.

Имеется модель:

x(t) = a0(t) + g(t) + δ(t),