Статистическая оценка законов распределения случайных величин

,

До проведения опыта выборка Х1, Х2, Х3, …, Хn есть совокупность независимых случайных величин, которые имеют математическое ожидание и дисперсию, а значит распределение вероятности такие же как и сама случайная величина Х. Таким образом:

,, где i = 1, 2, 3, …, n.

Исходя из этого, найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины (пользуясь свойствами математического ожидания).

Таким образом математическое ожидание статистического среднего равно точному значению математического ожидания m измеряемой величины, а дисперсия статистического среднего в n раз меньше дисперсии отдельных результатов измерений.

при

Это значит, что при большом объеме выборки N статистическое средние является величиной почти неслучайной, оно лишь незначительно отклоняется от точного значения случайной величины m. Этот закон называется законом больших чисел Чебышева.

Точечные оценки неизвестных значений математического ожидания и дисперсии имеют большое значение на первоначальном этапе обработки статических данных. Их недостаток в том, что неизвестно с кокой точностью они дают оцениваемый параметр.

Пусть по данной выборке Х1, Х2, Х3, …, Хn получены точные статистические оценки и, тогда числовые характеристики случайной величины Х будут приближенно равны . Для выборки небольшого объема вопрос поточности оценки существенен, т.к. между m и, D и будут недостаточно большие отклонения. Кроме того при решении практических задач требуется не только найти приближенные значения m и D, но и оценить их точность и надежность. Пусть , т.е. является точечной оценкой для m. Очевидно, чтотем точнее определяет m, чем меньше модуль разности . Пусть , где ε>0, тогда, чем меньше ε, тем точнее оценка m. Таким образом, ε>0 характеризует точность оценки параметра. Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка истинного значения m удовлетворяет, можно лишь говорить о вероятности α, с которой это неравенство выполняется:

Таким образом, α - это доверительная вероятность или надежность оценки, значение α выбираются заранее в зависимости от решаемой задачи. Надежность α принято выбирать 0.9; 0.95; 0.99; 0.999. События с такой вероятностью являются практически достоверными. По заданной доверительной вероятности можно найти число ε>0 из .

Тогда получим интервал, который накрывает с вероятностью α истинное значение математического ожидания m, длина этого интервала равна 2ε. Этот интервал называется доверительным интервалом. А такой способ оценки неизвестного параметра m - интервальным.

Рис. 7

Пусть дана выборка Х1, Х2, Х3, …, Хn, и пусть по этой выборке найдено ,,.

Требуется найти доверительный интервал для математического ожидания m с доверительной вероятностью α. Величина есть величина случайная с математическим ожиданием,.