Прогнозирование, основанное на использовании моделей временных рядов

Построим модель множественной линейной регрессии.

Пусть эконометрическая модель специфицирована в линейной форме [ЛЕЩ, c. 58]:

Y = a0 + a1X1 + a2X2 + u,

где a0, a1, a2 - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки), X1, X2 - факторы Y - показатель. Оценим параметры модели методом МНК:

A = (X 'X)-1X 'Y,

где матрица X характеризует все независимые переменные модели. Поскольку модель имеет свободный член a0, для которого все xi = 1, то матрицу нужно дополнить первым столбцом, в котором все члены являются единицами, X ' - транспонированная матрица к данной, а вектор Y - вектор зависимой переменной.

Транспонируем данную матрицу:

Найдем произведение транспонированной матрицы и данной:

Вычислим обратную матрицу:

Найдем произведение транспонированной матрицы и вектора Y:

Умножив обратную матрицу на предыдущую, получим искомые коэффициенты:

Таким образом, a0 = -0,9638, a1 = 0,8074, a2 = -0,0122.

Следовательно, линейная эконометрическая модель имеет вид:

Y = -0,9638 + 0,8074X1 - 0,0122X2.

Проверку правильности решения можно выполнить, использовав стандартную функцию Excel ЛИНЕЙН() [ЛАВ, c. 249]. Задав первым ее параметром значения диапазона Y, а вторым - диапазона X, получим аналогичный результат.

С экономической точки зрения вычисленные коэффициенты регрессии значат следующее:

если значение фактора x1 () изменится на 1, то показатель увеличится или уменьшится на 0,8074 ед.;

если значение фактора x2 () изменится на 1, то показатель увеличится или уменьшится на 0,0122 ед.;

Свободный член регрессии a0 = -0,9638 указывает значение результативного признака при нулевых значениях всех факторов. Он имеет лишь расчетное значение, поскольку такой случай невозможный в реальной экономической ситуации.

Коэффициент c функции Кобба-Дугласа определяем потенцированием:

c = eao = e-0,9638 = 0,1087

a = a1 = 0,8074

b = a2 = -0,0122

Следовательно, функция Кобба-Дугласа следующая:

Y = 0,1087·X0,8074·P-0,0122.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью коэффициентов частной эластичности, которые в случае данной двуфакторной модели они равны вычисленным коэффициентам a = 0,8074 и b = -0,0122.

Коэффициенты частной эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одной из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака останется неизменным.

Задача 2

Объем продаж рекламного времени частной радиостанции за 21 неделю представлен в табл. 2. Проанализировать кривую объемов продаж рекламного времени и сделать вывод о возможности повышения прибыльности этого вида деятельности.

При решении этой задачи необходимо выполнить следующие операции:

) проанализировать ряд количества проданного рекламного времени и построить его график;

) выбрать общую статистическую модель;

) оценить трендовую составляющую Ui;

) оценить адекватность построенных моделей тренда и оценить их точность;

) осуществить прогноз объемов продаж рекламного времени на следующие 4 недели.

В задаче необходимо применить три аппроксимирующих, полинома (линейный, параболический и гиперболический), провести их сравнение и выбор наилучшего.